Перегляд завдання

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін.

II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.

III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

Твердження I: «Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін»

Перевірка:

Нехай паралелограм $ABCD$.

Діагональ $AC$ паралелограма $ABCD$ ділить його на два трикутники.

За нерівністю трикутника: кожна сторона трикутника строго менша за суму двох інших сторін.

У трикутнику $ABC$ діагональ $AC$ є стороною, тому:

$AC<AB+BC$

Тобто діагональ завжди строго менша за суму двох сусідніх сторін — рівність неможлива.

Твердження I - хибне

Твердження II: «Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут»

Перевірка:

За властивістю паралелограма — суміжні кути в доповнення до 180°:

$\alpha +\beta =180^{\circ }$

Нехай $\beta =2\alpha$:

$\alpha +2\alpha =180\Rightarrow 3\alpha =180\Rightarrow a=60$

Це цілком коректний паралелограм (наприклад, з кутами 60° і 120°).

Твердження II — істинне

Твердження III: «Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні»

Перевірка:

За ознакою ромба — якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, то це ромб.

Теорема (ознака ромба): Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, то цей паралелограм є ромбом.

Ромб — це окремий випадок паралелограма, тому такий паралелограм існує.

Твердження III — істинне

Висновок:

Істинні твердження: II та III