Підготовка до НМТ з математики

Чорної п’ятниці в магазині пропонують акцію: за кожен придбаний чорний гаманець покупець платить на 70% менше від його ціни. Покупець придбав - чорний гаманець і заплатив за нього 105 грн, скориставшись цією акцією. Визначте ціну (грн) цього гаманця до Чорної п’ятниці.

На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні налічується $n$ рядів, у кожному з яких розташовано по 6 крісел (обабіч проходу по 3). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу в першому або останньому ряду, дорівнює $\frac{1}{45}$. Визначте $n$.

Під час миття рук милом із крана витікає 25 л води, з них 60 % марнують під час намилювання. Скільки літрів води можна зберегти, якщо закривати кран перед намилюванням рук?

На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні $n$ рядів, у кожному з яких розташовано 6 крісел (по 3 крісла обабіч проходу). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в перших трьох рядах, дорівнює — $\frac{1}{14}$. Визначте $n$.

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

ІІ. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

ІІІ. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов’язково лежить на більшій основі трапеції.

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по 25 см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу ($с{м}^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\pi$ $с{м}^2$.

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін.

II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.

III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.

Якщо $m=n-1$, то $7-m=$

У першу годину роботи на телефон гарячої лінії надійшло 145 дзвінків, а за другу годину – на 17 дзвінків більше. Скільки всього дзвінків надійшло на телефон гарячої лінії за дві години роботи?

Кола із центрами в точках $O$ і $O_1$ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань $O{O}_1$, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

На рисунку зображено пряму трикутну призму. Її бічною гранню є

Розв’яжіть нерівність $0,2x-54<0$.

${\log }_5{5}^{10}=$

На рисунку зображено графік функції $y=f\left(x\right)$, визначеної на проміжку $\left[1;8\right]$. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?

Якщо $a<1$, то $\left|a-1\right|+\left|-7\right|=$

Спростіть вираз $a\left(a+2b\right)-{\left(a+b\right)}^2$.

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Обчисліть довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.

Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(x+1\right)=-2$.

У прямокутній системі координат у просторі задано точки $A\left(5;-4;0\right)$ і $B\left(7;2;-2\right)$. Визначте точку $C$, симетричну точці $A$ відносно точки B.

О шостій годині ранку визначено температуру повітря на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.

Визначте $x$, якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює $3,5^{\circ }$.

У паралелограмі $ABCD$: $AB=\sqrt{6}$, $\angle BAD=30^{\circ }$, $\angle CBD=45^{\circ }$ (див. рисунок). Обчисліть довжину діагоналі $BD$.

Укажіть похідну функції $f\left(x\right)=x\left(x^3+1\right)$.

До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Установіть відповідність між виразом (1–3) і тотожно рівним йому виразом (А – Д), якщо $a$ - довільне додатне число, $a\ne 1$.

Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний осі абсцис і проходить через точку $A\left(-2;3\right)$.

Визначте кількість граней трикутної призми.

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Діагоналі будь-якого ромба ділять його кути навпіл.

ІІ. Діагоналі будь-якого чотирикутника точка перетину ділить навпіл.

IIІ. Діагоналі будь-якого квадрата взаємно перпендикулярні.

Спростіть вираз $\frac{a^2+16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}$.

З трьох хлопців та трьох дівчат добирають чотирьох учасників до музичного квартету. Скільки всього є варіантів такого вибору?

Квадрат $ABCD$ та прямокутна трапеція $BMNC$ лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює $36$ $с{м}^2$, $AM=15$ $с{м}^{}$. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та його довжиною (А – Д).

На рисунку зображено фрагмент частини поперечного перерізу стосу дерев’яних колод. У нижньому ряду стосу 13 колод, а у верхньому – одна. Визначте загальну кількість колод у цьому стосі.

Редактор стрічки новин вирішує, у якій послідовності розмістити 6 різних новин: 2 політичні, 3 суспільні та 1 спортивну. Скільки всього є різних послідовностей розміщення цих 6 новин у стрічці за умови, що політичні новини мають передувати іншим, а спортивна новина має бути останньою? Уважайте, що кожна з цих 6 новин у стрічці не повторюватиметься.

Розв’яжіть систему рівнянь $\{\begin{array}{l}x+y=5,\\ 4^x=16^{-1}.\end{array}$ Якщо $\left(x_0;y_0^{}\right)$ – розв’язок цієї системи, то $x_0\cdot y_0=$

У прямокутній системі координат у просторі задано вектор $\overrightarrow{AB}\left(-3;8;1\right)$ і точку $B\left(7;-2;0\right)$, точка $O$ – початок координат. Обчисліть скалярний добуток $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}$.

Визначте найменше значення $a$, за якого має корені рівняння $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2a^2+5a-6$.

У таблиці наведено дані про температуру повітря в різний час того самого дня.

На графіках немає шкали (градації) температури повітря. На якому графіку правильно відображено дані, наведені в таблиці?

У супермаркеті акція: купуєш три однакові шоколадки «Спокуса», а таку ж саму четверту супермаркет надає безкоштовно. Ціна кожної такої шоколадки – 35 грн. У покупця є 220 грн. Яку максимальну кількість шоколадок «Спокуса» він зможе отримати, узявши участь в акції?

У прямокутному трикутнику сума двох кутів дорівнює 115°. Визначте градусну міру найменшого кута цього трикутника.

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=2$ ?

Обчисліть $\frac{\sqrt[3]{128}}{\sqrt[3]{2}}$.

Обчисліть значення виразу ${\log }_2\left(8a\right)$, якщо ${\log }_{2}a=4$.

Розв’яжіть систему нерівностей $\{\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{3}\right)}^x<81,\\ \left|x\right|\le 5.\end{array}$

На рисунку зображено відрізок d на координатній площині. Установіть відповідність між відрізком (1–3) та рисунком (А – Д), на якому він зображений.

Діагональ прямокутника утворює з його стороною кут 60° (див. рисунок), більша сторона прямокутника дорівнює $5\sqrt{3}$. Визначте довжину кола, описаного навколо цього прямокутника.

В арифметичній прогресії $a_1=4$, $a_2=-1$. Укажіть формулу для визначення $n$ - го члена цієї прогресії.

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.

Укажіть кількість коренів рівняння $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на відрізку $\left[0;3\pi \right]$.

Доберіть до функції (1–3) ескіз її графіка (А – Д).

Доберіть до запитання (1–3) правильну відповідь на нього (А – Д).

Обчисліть ${\int }_0^{7}f\left(x\right)dx$, використавши зображений на рисунку графік лінійної функції $y=f\left(x\right)$.

Михайло отримав з математики в першому семестрі такі оцінки: «8», «7», «9», «8». Яку кількість оцінок «10» протягом цього семестру треба отримати Михайлові з математики, щоб середнє арифметичне всіх отриманих у першому семестрі оцінок із цього предмета дорівнювало 9,5? Уважайте, що інших оцінок із математики, окрім «10», Михайло не отримуватиме.

Об’єм конуса дорівнює 64 см3 . Через середину висоти цього конуса паралельно його основі проведено площину. Утворений переріз є основою меншого конуса, вершина якого збігається з вершиною заданого. Обчисліть об’єм (см3 ) меншого конуса.

Визначте найменше ціле значення а, за якого один із коренів рівняння ${\log }_2^{2}x-\left(a-1\right){\log }_{2}x-a=0$ належить проміжку (30; 100).

На рисунку відображено зміну густини (мкг/м3 ) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в деякому районі міста. Укажіть із-поміж наведених проміжок часу (год), упродовж якого густина такого пилу в повітрі лише зменшувалася.

Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $ABC$ дорівнює $100^{\circ }$, $\angle C=20^{\circ }$ ° (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B$.

Розкладіть вираз $4x^2-144$ на множники.

На рисунку зображено циліндр, прямокутник $ABCD$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.

Визначте найбільше значення a, за якого рівняння $\frac{3^{2a-5x+2}-\sqrt{27}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=0$ має корінь.

Яке з наведених чисел є коренем рівняння $|3x+2|=2$ ?

$0,6x^3\cdot 5x^4=$

Якщо $a=\frac{\left(b+c\right)\cdot d}{2}$, то $c=$

Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно 1 банан, 2 апельсини та 3 яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із 24 фруктів?

На рисунку зображено графік функції $y=f\left(x\right)$, визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції $y=f\left(x-4\right)$?

Обчисліть $\frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}$.

Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а апофема на 2 см більша за сторону основи піраміди.

Розв’яжіть систему нерівностей $\{\begin{array}{l}{5}^x<25,\\ 2-x<8.\end{array}$

В арифметичній прогресії $(a_n)$ відомо, що $a_6–a_1=–30$. Обчисліть значення виразу $a_6–a_4$.

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу ${\log }_{0,2}125$.

Укажіть корінь рівняння $tg(3x)=–1$.

На рисунку зображено прямокутник $ABCD$. Точка $K$ лежить на стороні $AD$. Визначте довжину сторони $AD$, якщо $BK=d$, $\angle AKB=\alpha$, $\angle KCD=\beta$.

Укажіть корінь рівняння $\sin 4x=–1$.

У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану $ABCA$, де $A(–1;0)$, $B(0;1)$, $C(1;0)$. Узгодьте функцію (1–3) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної $ABCA$.

$2(5x+6)=$

Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо $a=3$.

Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Обчисліть інтеграл ${\int }_3^5\frac{x^2+2x+1}{x+1}dx$

Сергій купив 4 чорні, 6 червоних і $n$ синіх ручок по 27 грн, 15 грн і 10 грн кожна. Середня ціна однієї ручки виявилася меншою за 13 грн.

Укажіть найменше можливе значення $n$.

У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Діагоналі основи $ABCD$ перетинаються в точці $M$. Висота призми втричі більша за сторону $AB$. Обчисліть об’єм цієї призми, якщо $A(4;10;3)$, $M(–2;0;1)$.

Знайдіть усі значення $a$, за яких рівняння $\frac{x^2-ax+4}{x-5}$ має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.

Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x(t)=6t^2$, де $х(t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v(t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t$?

У паралелограмі $ABCD$ $\angle A=30°$, бічна сторона $AB=12$ см. Сторона $AD$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу ($с{м}^2$) цього паралелограма.

Позначте число, що є розв’язком системи нерівностей $\{\begin{array}{l}x>-3,\\ x\le 7.\end{array}$

Для облаштування кафе було придбано столи і стільці у співвідношенні 1:3 відповідно. Укажіть діаграму, на якій правильно відображено розподіл придбаних столів і стільців.

темний сектор - столи

білий сектор - стільці

Точки $A$ і $B$ лежать на колі радіуса 16. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $AB$.

Розв’яжіть нерівність $x+3\le 0$.

Визначте координати вектора, який є сумою векторів $\overrightarrow{a}(2;–2;3)$ і $\overrightarrow{b}(–7;–3;4)$.

На рисунку зображено графік функції $y=f(x)$, визначеної на проміжку $[–3;3]$. Укажіть нуль цієї функції.

Плату за користування комп’ютерною програмою підвищили зі 140 грн у 2021 р. до 161 грн у 2022 р. На скільки відсотків збільшили плату у 2022 р. порівняно із 2021 р.?

Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…

Обчисліть ${\left(\frac{1}{7}\cdot \sqrt[3]{7}\right)}^3$.

Розв’яжіть систему рівнянь $\{\begin{array}{l}\frac{1}{3y}=\frac{2}{x},\\ x-y=30.\end{array}$ Якщо $(x_0;y_0)$ – розв’язок системи, то $x_0+y_0=$

Узгодьте твердження (1–3) із функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.

До початку речення (1–3) доберіть закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n$ – натуральне число.

На рисунку зображено графік функції $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\in \left(-\infty ;0\right],\\ 2,x\in \left(0;+\infty \right).\end{array}$ Обчисліть значення виразу ${\int }_{-4}^{-1}f\left(x\right)dx+2{\int }_1^{8}f\left(x\right)dx$.

У прямокутному трикутнику $ACB$ $\angle C=90^{\circ }$, $\angle B=24^{\circ }$. На продовженні катета $AC$ вибрано точку $K$ так, що $AK=KB$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $ACB$. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).