Перегляд завдання

НМТ Завдання 8
НМТ 2025 Варіант 2

дві кулі з центрами в точках O1 і O2 мають зовнішній дотик

У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_{1}$ i $O_{2}$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_{1} (1; - 4; 10)$ , $O_{2} (7; 4; - 14)$ ?

а.
26
б.
13
в.
12
г.
10
д.
17

Рішення:

Знайдемо відстань між центрами куль:

$O_{1} O_{2} = (7 - 1)^{2} + (4 - (- 4))^{2} + (- 14 - 10)^{2} = 6^{2} + 8^{2} + (- 24)^{2} = 36 + 64 + 576 = 676 = 26$

За умовою кулі мають зовнішній дотик, отже сума їх радіусів дорівнює відстані між центрами:

$r_{1} + r_{2} = 26$

Нехай $r_{2}$ — радіус більшої кулі, $r_{1}$ — меншої. Тоді

$r_{2} > r_{1}$ , $r_{1} + r_{2} = 26$

Із цього випливає:

$r_{2} > 13$ , $r_{2} < 26$

Висновок:

радіус більшої кулі може набувати будь-якого значення більшего за 13 і меншого за 26