Перегляд завдання

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.

ІІ. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.

ІІІ. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов’язково лежить на більшій основі трапеції.

Твердження І. "Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції"

Теорема про дотичну і радіус: Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної.

Оскільки сторони трапеції є дотичними до вписаного кола, то радіус, проведений до точки дотику з нижньою основою, перпендикулярний до неї — тобто вертикальний. Отже, відстань від центра кола O до нижньої основи дорівнює r.

Аналогічно, радіус до точки дотику з верхньою основою також перпендикулярний до неї — відстань від O до верхньої основи теж дорівнює r.

Тому:

$r+r=h\Rightarrow h=2r\Rightarrow r=\frac{h}{2}$

Центр кола знаходиться на відстані $r=\frac{h}{2}$ від кожної з основ.

Визначення середньої лінії трапеції: Середня лінія трапеції — відрізок, що з'єднує середини бічних сторін і розташований на відстані $\frac{h}{2}$ від кожної основи.

Отже, центр вписаного кола лежить рівно на середній лінії трапеції.

Твердження І — правильне

Твердження ІІ. "Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції"

Властивість точки перетину діагоналей: Діагоналі трапеції перетинаються у внутрішній точці, яка ділить кожну діагональ у відношенні a : b (відношення основ).

Ця точка не є рівновіддаленою від усіх сторін у загальному випадку.

Твердження ІІ — хибне

Твердження ІІІ. "Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов'язково лежить на більшій основі трапеції"

Теорема про описане коло навколо трапеції: Коло можна описати навколо трапеції тоді і тільки тоді, коли вона є рівнобедреною (бічні сторони рівні).

Властивість центру описаного кола: Центр описаного кола — це точка перетину серединних перпендикулярів до всіх сторін многокутника.

Для рівнобедреної трапеції серединний перпендикуляр до більшої основи — це вісь симетрії. Центр кола лежить на осі симетрії, а не на більшій основі.

Щоб центр лежав на більшій основі, трапеція мала б бути прямокутним трикутником — але тоді це не трапеція з описаним колом у загальному сенсі.

Твердження ІІІ — хибне