Перегляд завдання

Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по 25 см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу ($с{м}^2$) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500\pi$ $с{м}^2$.

З формули площі бічної поверхні конуса $S=\pi Rl$, де $R$ - радіус основи, $l$ - твірна конуса, знаходимо радіус основи:

$R=\frac{S}{\pi l}=\frac{500\pi }{\pi \cdot 25}=20$

Площа бічної поверхні правильної піраміди $S_{бпп}=\frac{3}{2}ah$, де $a$ - сторона основи правильної піраміди, $h$ - її апофема.

У прямокутному трикутнику (вершина піраміди — середина ребра основи — центр основи) за теоремою Піфагора ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2-h^2$, де $b$ - бічне ребро правільної піраміди, гіпотенуза прямокутного трикутника - половини бічної грані утвореної її висотою.

Оскільки апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса $h=R=20$, буде вірно

${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=25^2-20^2=225$

$\frac{a}{2}=15$

$a=30$

Тоді

$S_{бпп}=\frac{3}{2}ah=\frac{3}{2}\cdot 30\cdot 20=900$