НМТ 2024 П'ята сесія

Завдання 1
На рисунку відображено зміну густини (мкг/м3 ) дрібнодисперсного пилу в повітрі протягом доби в деякому районі міста. Укажіть із-поміж наведених проміжок часу (год), упродовж якого густина такого пилу в повітрі лише зменшувалася.
1. а.
  [2; 6]
2. б.
  [8; 12]
3. в.
  [12; 14]
4. г.
  [14; 16]
5. д.
  [20; 24]
Завдання 2
Зовнішній кут при вершині $A$ трикутника $A BC$ дорівнює $10 0^{\circ}$ , $∠ C = 2 0^{\circ}$ ° (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $B$ .
1. а.
  $10 0^{\circ}$
2. б.
  $9 0^{\circ}$
3. в.
  $12 0^{\circ}$
4. г.
  $8 0^{\circ}$
5. д.
  $7 0^{\circ}$
Завдання 3
Розкладіть вираз $4 x^{2} - 144$ на множники.
1. а.
  $(2 x -12) (2 x + 12)$
2. б.
  $(2 x -72) (2 x + 72)$
3. в.
  $(2 x -12)^{2}$
4. г.
  $(2 x -72)^{2}$
5. д.
  $2 (x -6) (x + 6)$
Завдання 4
На рисунку зображено циліндр, прямокутник $A BC D$ – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.
1. а.
  $A D$
2. б.
  $BC$
3. в.
  $A C$
4. г.
  $B D$
5. д.
  $A B$
Завдання 5
Яке з наведених чисел є коренем рівняння $∣3 x + 2∣ = 2$ ?
1. а.
  $\frac{4}{3}$
2. б.
  $- \frac{4}{3}$
3. в.
  $\frac{3}{2}$
4. г.
  $- \frac{2}{3}$
5. д.
  $- \frac{1}{3}$
Завдання 6
Микола частує свою родину фруктовим салатом із яблук, бананів й апельсинів. Для приготування однієї порції салату потрібно 1 банан, 2 апельсини та 3 яблука. Скільки апельсинів використав Микола, якщо він приготував за цим рецептом салат із 24 фруктів?
1. а.
  4
2. б.
  5
3. в.
  8
4. г.
  12
5. д.
  18
Завдання 7
На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції $y = f (x - 4)$ ?
1. а.
  лише в І та ІІ
2. б.
  лише в ІІ та ІІІ
3. в.
  лише в ІІІ та ІV
4. г.
  лише в І та ІV
5. д.
  у всіх чвертях
Завдання 8
Обчисліть $\frac{3 189}{3 7}$ .
1. а.
  3
2. б.
  7
3. в.
  9
4. г.
  21
5. д.
  27
Завдання 9
Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а апофема на 2 см більша за сторону основи піраміди.
1. а.
  72 $с м^{2}$
2. б.
  384 $с м^{2}$
3. в.
  192 $с м^{2}$
4. г.
  120 $с м^{2}$
5. д.
  240 $с м^{2}$
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними?
I. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідних сторін.
II. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.
III. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.
1. а.
  лише ІІ
2. б.
  лише І та ІІІ
3. в.
  лише ІІ та ІІІ
4. г.
  лише І та ІІ
5. д.
  І, ІІ та ІІІ
Завдання 11
Розв’яжіть систему нерівностей ${5^{x} < 25, 2 - x < 8.$
1. а.
  $(2; 6)$
2. б.
  $(2; + \infty)$
3. в.
  $(-6; 5)$
4. г.
  $(- \infty; - 6)$
5. д.
  $(-6; 2)$
Завдання 12
В арифметичній прогресії $(a_{n})$ відомо, що $a_{6} - a_{1} = -30$ . Обчисліть значення виразу $a_{6} - a_{4}$ .
1. а.
  12
2. б.
  10
3. в.
  -15
4. г.
  -10
5. д.
  -12
Завдання 13
Укажіть проміжок, якому належить значення виразу $lo g_{0, 2} 125$ .
1. а.
  $(-\infty; -3)$
2. б.
  $[-3; 0)$
3. в.
  $[0; 3)$
4. г.
  $[3; 25)$
5. д.
  $[25; + \infty)$
Завдання 14
Укажіть корінь рівняння $t g (3 x) = -1$ .
1. а.
  $- \frac{π}{12}$
2. б.
  $- \frac{π}{3}$
3. в.
  $\frac{π}{12}$
4. г.
  $- \frac{4 π}{3}$
5. д.
  $- \frac{π}{4}$
Завдання 15
На рисунку зображено прямокутник $A BC D$ . Точка $K$ лежить на стороні $A D$ . Визначте довжину сторони $A D$ , якщо $B K = d$ , $∠ A K B = α$ , $∠ K C D = β$ .
1. а.
  $d (sin α + cos α t g β)$
2. б.
  $d (cos α + sin α t g β)$
3. в.
  $d (sin α + \frac{c o s α}{t g β})$
4. г.
  $d (cos α + \frac{s i n α}{t g β})$
5. д.
  $d (cos α + sin α sin β)$
Завдання 16
У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану $A BC A$ , де $A (-1; 0)$ , $B (0; 1)$ , $C (1; 0)$ . Узгодьте функцію (1–3) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної $A BC A$ .
Функція
1.
$y = 0$
2.
$y = 1 - x^{2}$
3.
$y = cos x$
Кількість спільних точок
а.
жодної
б.
лише одна
в.
лише дві
г.
лише три
д.
безліч
1.
2.
3.
Завдання 17
Узгодьте вираз (1–3) з твердженням (А – Д) про його значення, якщо $a = 3$ .
Вираз
1.
$a^{- 1}$
2.
$a^{0}$
3.
$sin (πa)$
Твердження про значення виразу
а.
є раціональним числом, що не є цілим
б.
є натуральним числом
в.
є цілим від’ємним числом
г.
є ірраціональним числом
д.
дорівнює 0
1.
2.
3.
Завдання 18
Навколо кола описано рівнобічну трапецію (див. рисунок), периметр якої дорівнює 100 см. Різниця основ трапеції дорівнює 14 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
1.
Довжина середньої лінії трапеції дорівнює
2.
Довжина більшої основи трапеції дорівнює
3.
Довжина висоти трапеції дорівнює
Закінчення речення
а.
18 см.
б.
24 см.
в.
25 см.
г.
32 см.
д.
36 см.
1.
2.
3.
Завдання 19
Обчисліть інтеграл $\int_{3}^{5} \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x + 1} d x$
Завдання 20
Сергій купив 4 чорні, 6 червоних і $n$ синіх ручок по 27 грн, 15 грн і 10 грн кожна. Середня ціна однієї ручки виявилася меншою за 13 грн.
Укажіть найменше можливе значення $n$ .
Завдання 21
У прямокутній системі координат у просторі задано правильну чотирикутну призму $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Діагоналі основи $A BC D$ перетинаються в точці $M$ . Висота призми втричі більша за сторону $A B$ . Обчисліть об’єм цієї призми, якщо $A (4; 10; 3)$ , $M (-2; 0; 1)$ .
Завдання 22
Знайдіть усі значення $a$ , за яких рівняння $\frac{x ^{2} - a x + 4}{x - 5}$ має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.

НМТ 2024 П'ята сесія

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Завдання 8

Завдання 9

Завдання 10

Завдання 11

Завдання 12

Завдання 13

Завдання 14

Завдання 15

Завдання 16

Завдання 17

Завдання 18

Завдання 19

Завдання 20

Завдання 21

Завдання 22