НМТ 2023 Друга зміна сьомої сесії

Завдання 1
Для облаштування кафе було придбано столи і стільці у співвідношенні 1:3 відповідно. Укажіть діаграму, на якій правильно відображено розподіл придбаних столів і стільців.
темний сектор - столи
білий сектор - стільці
1. а.
2. б.
3. в.
4. г.
5. д.
Завдання 2
$2 (5 x + 6) =$
1. а.
  $5 x + 8$
2. б.
  $10 x + 6$
3. в.
  $7 x + 8$
4. г.
  $7 x + 12$
5. д.
  $10 x + 12$
Завдання 3
Точки $A$ і $B$ лежать на колі радіуса 16. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка $A B$ .
1. а.
  4
2. б.
  8
3. в.
  16
4. г.
  32
5. д.
  64
Завдання 4
Розв’яжіть нерівність $x + 3 \leq 0$ .
1. а.
  $[0; 3]$
2. б.
  $(-\infty; 3]$
3. в.
  $(-\infty; - 3]$
4. г.
  $(3; + \infty]$
5. д.
  $(- 3; + \infty]$
Завдання 5
Визначте координати вектора, який є сумою векторів $a (2; -2; 3)$ і $b (-7; -3; 4)$ .
1. а.
  $(9; 1; -1)$
2. б.
  $(-5; -5; 7)$
3. в.
  $(-9; -1; 1)$
4. г.
  $(5; 5; 7)$
5. д.
  $(-5; 1; 7)$
Завдання 6
На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на проміжку $[-3; 3]$ . Укажіть нуль цієї функції.
1. а.
  -3
2. б.
  -2
3. в.
  0
4. г.
  3
5. д.
  4
Завдання 7
Плату за користування комп’ютерною програмою підвищили зі 140 грн у 2021 р. до 161 грн у 2022 р. На скільки відсотків збільшили плату у 2022 р. порівняно із 2021 р.?
1. а.
  10
2. б.
  15
3. в.
  21
4. г.
  85
5. д.
  115
Завдання 8
Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Циліндр утворений обертанням…
1. а.
  квадрата навколо його сторони».
2. б.
  прямокутника навколо його діагоналі».
3. в.
  прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи».
4. г.
  прямокутного трикутника навколо його катета».
5. д.
  квадрата навколо його діагоналі».
Завдання 9
Обчисліть $(\frac{1}{7} \cdot 37)^{3}$ .
1. а.
  27
2. б.
  $\frac{1}{7}$
3. в.
  1
4. г.
  $\frac{1}{49}$
5. д.
  49
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними?
І. Середня лінія трапеції проходить через точку перетину її діагоналей.
ІІ. Діагональ трапеції ділить її на два рівних трикутники.
ІІІ. Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
1. а.
  лише ІII
2. б.
  лише І та ІІІ
3. в.
  лише І та ІІ
4. г.
  лише IІ та ІІІ
5. д.
  І, ІІ та ІІІ
Завдання 11
Розв’яжіть систему рівнянь ${\frac{1}{3 y} = \frac{2}{x}, x - y = 30.$ Якщо $(x_{0}; y_{0})$ – розв’язок системи, то $x_{0} + y_{0} =$
1. а.
  -150
2. б.
  35
3. в.
  36
4. г.
  42
5. д.
  150
Завдання 12
Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом $x (t) = 6 t^{2}$ , де $х (t)$ – координата точки, $t$ – час. За якою формулою визначають швидкість $v (t)$ цієї матеріальної точки в будь-який момент часу $t$ ?
1. а.
  $v (t) = 6 t$
2. б.
  $v (t) = 12 t$
3. в.
  $v (t) = 2 t^{3}$
4. г.
  $v (t) = 6 t^{3}$
5. д.
  $v (t) = 3 t$
Завдання 13
У паралелограмі $A BC D$ $∠ A = 30°$ , бічна сторона $A B = 12$ см. Сторона $A D$ втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу ( $с м^{2}$ ) цього паралелограма.
1. а.
  $54$
2. б.
  $543$
3. в.
  $108$
4. г.
  $1083$
5. д.
  $216$
Завдання 14
Спростіть вираз $\frac{a ^{2} + ab}{( a + b ) ^{2}} - \frac{2 a + b}{a + b}$ .
1. а.
  1
2. б.
  $\frac{a - b}{a + b}$
3. в.
  $\frac{b - a}{a + b}$
4. г.
  $\frac{3 a + b}{a + b}$
5. д.
  -1
Завдання 15
Укажіть корінь рівняння $sin 4 x = -1$ .
1. а.
  $\frac{3 π}{8}$
2. б.
  $\frac{π}{8}$
3. в.
  $\frac{π}{4}$
4. г.
  $- \frac{π}{4}$
5. д.
  $- \frac{π}{2}$
Завдання 16
Узгодьте твердження (1–3) із функцією (А – Д), для якої це твердження є правильним.
Твердження
1.
областю значень функції є проміжок $[0; + \infty)$
2.
графік функції симетричний відносно осі $y$
3.
найменшого значення на відрізку $[1; 4]$ функція набуває в точці $x = 4$
Функція
а.
$y = x^{2} + 4$
б.
$y = x$
в.
$y = x$
г.
$y = lo g_{0, 5} x$
д.
$y = - \frac{1}{x}$
1.
2.
3.
Завдання 17
До початку речення (1–3) доберіть закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо $n$ – натуральне число.
Початок речення
1.
Якщо $\frac{n}{a} = 3$ , то
2.
Якщо $1 + lo g_{3} n = lo g_{3} a$ , то
3.
Якщо $3^{n} \cdot 3 = 3^{a}$ , то
Закінчення речення
а.
$a = 3 n$ .
б.
$a = n + 1$ .
в.
$a = n + 3$ .
г.
$a = \frac{3}{n}$ .
д.
$a = \frac{n}{3}$ .
1.
2.
3.
Завдання 18
У прямокутному трикутнику $A CB$ $∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 2 4^{\circ}$ . На продовженні катета $A C$ вибрано точку $K$ так, що $A K = K B$ (див. рисунок). Точка $O$ – центр кола, описаного навколо трикутника $A CB$ . Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А – Д).
Кут
1.
$∠ B A C$
2.
$∠ K BC$
3.
$∠ O K B$
Градусна міра кута
а.
$2 4^{\circ}$
б.
$3 4^{\circ}$
в.
$4 2^{\circ}$
г.
$6 6^{\circ}$
д.
$7 2^{\circ}$
1.
2.
3.
Завдання 19
Число $27$ є членом арифметичної прогресії з різницею $d = 5$ . Визначте числа з проміжку $(60; 75)$ , що є членами цієї прогресії. У відповіді запишіть суму цих чисел.
Завдання 20
Переможцю олімпіади заплановано подарувати комплект із 5 книг, у якому 2 збірники олімпіадних задач та 3 науково-популярні книги. Скільки всього варіантів формування такого комплекту книг, якщо є 8 різних збірників та 10 різних науково-популярних книг?
Завдання 21
Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює 5.
Завдання 22
Визначте кількість цілих значень $a$ , за яких корені $x_{1}$ та $x_{2}$ квадратного рівняння $x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} - 25 = 0$ задовольняють умову $x_{1} < 1 < x_{2}$ .

НМТ 2023 Друга зміна сьомої сесії

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Завдання 8

Завдання 9

Завдання 10

Завдання 11

Завдання 12

Завдання 13

Завдання 14

Завдання 15

Завдання 16

Завдання 17

Завдання 18

Завдання 19

Завдання 20

Завдання 21

Завдання 22