НМТ 2025 Варіант 2

Завдання 1
На діаграмі відображено результати опитування учнів щодо тривалості підготовки до контрольної. Визначте за діаграмою кількість учнів, що готувалися до контрольної не менш як 2 години.
1. а.
  4
2. б.
  7
3. в.
  9
4. г.
  13
5. д.
  15
Завдання 2
У паралелограмі $A BC D$ проведено діагональ $A C$ (див. рисунок). Визначте градусну міру гострого кута паралелограма, якщо $∠ C A D = 1 8^{\circ}$ , $∠ A C D = 4 3^{\circ}$ .
1. а.
  $6 1^{\circ}$
2. б.
  $2 5^{\circ}$
3. в.
  $12 9^{\circ}$
4. г.
  $5 1^{\circ}$
5. д.
  $2 9^{\circ}$
Завдання 3
Яке з наведених чисел є коренем рівняння $2 - ∣ x ∣ = 0, 1$ ?
1. а.
  2,1
2. б.
  -2,1
3. в.
  -1,9
4. г.
  -0,05
5. д.
  20
Завдання 4
$4 x + x^{2} - 5 - 2 x^{2} - 4 x + 19 =$
1. а.
  $8 x + x^{2} + 14$
2. б.
  $x^{2} + 14$
3. в.
  $8 x - x^{2} + 14$
4. г.
  $- x^{2} + 14$
5. д.
  $x^{2} - 14$
Завдання 5
На рисунку зображено куб $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Скільки всього площин, паралельних прямій $A B$ , містять грані куба?
1. а.
  жодної
2. б.
  лише одну
3. в.
  лише дві
4. г.
  лише три
5. д.
  більш як три
Завдання 6
Графік функції $y = x^{3}$ перенесли на 4 одиниці вниз уздовж осі $y$ . Графік якої функції отримали внаслідок такого перетворення?
1. а.
  $y = x^{3} + 4$
2. б.
  $y = x^{3} - 4$
3. в.
  $y = \frac{x ^{3}}{4}$
4. г.
  $y = (x + 4)^{3}$
5. д.
  $y = (x - 4)^{3}$
Завдання 7
Чорної п’ятниці в магазині пропонують акцію: за кожен придбаний чорний гаманець покупець платить на 70% менше від його ціни. Покупець придбав - чорний гаманець і заплатив за нього 105 грн, скориставшись цією акцією. Визначте ціну (грн) цього гаманця до Чорної п’ятниці.
1. а.
  315
2. б.
  350
3. в.
  175
4. г.
  150
5. д.
  245
Завдання 8
У прямокутній системі координат у просторі кулі із центрами в точках $O_{1}$ i $O_{2}$ мають зовнішній дотик (див. рисунок). Якому значенню може дорівнювати радіус більшої кулі, якщо $O_{1} (1; - 4; 10)$ , $O_{2} (7; 4; - 14)$ ?
1. а.
  26
2. б.
  13
3. в.
  12
4. г.
  10
5. д.
  17
Завдання 9
Якщо $a = \frac{( b + c ) \cdot d}{2}$ , то $c =$
1. а.
  $\frac{2 a - b}{d}$
2. б.
  $\frac{a d}{2} - b$
3. в.
  $\frac{2 a}{d} + b$
4. г.
  $\frac{2 a + b}{d}$
5. д.
  $\frac{2 a}{d} - b$
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними?
I. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола лежить на середній лінії трапеції.
ІІ. Якщо в трапецію можна вписати коло, то центр цього кола збігається з точкою перетину діагоналей трапеції.
ІІІ. Якщо навколо трапеції можна описати коло, то центр цього кола обов’язково лежить на більшій основі трапеції.
1. а.
  лише І та ІІ
2. б.
  лише І
3. в.
  лише І та ІІІ
4. г.
  лише IІ та ІІІ
5. д.
  І, ІІ та ІІІ
Завдання 11
Якому проміжку належить корінь рівняння $(\frac{1}{3})^{x - 7} = 3$ ?
1. а.
  $(- 7; - 6]$
2. б.
  $(- 6; - 4]$
3. в.
  $(- 4; 4]$
4. г.
  $(4; 6]$
5. д.
  $(6; 7]$
Завдання 12
Обчисліть значення похідної функції $f (x) = 6 x - 2 cos x$ у точці $x_{0} = \frac{π}{2}$ .
1. а.
  $3 π + 2$
2. б.
  $8$
3. в.
  $3 π - 2$
4. г.
  $6$
5. д.
  $4$
Завдання 13
$\frac{2 0 ^{7} \cdot 0 , 1 ^{6}}{4 ^{5}} =$
1. а.
  2,5
2. б.
  1,25
3. в.
  8
4. г.
  $\frac{1}{256}$
5. д.
  0,000025
Завдання 14
Розв’яжіть нерівність $lo g_{3} (1 - 2 x) < 2$ .
1. а.
  $(0; \frac{1}{2})$
2. б.
  $(- 4; \frac{1}{2})$
3. в.
  $(\frac{1}{2}; + \infty)$
4. г.
  $(- 4; 0)$
5. д.
  $(- \infty; - 4)$
Завдання 15
На стороні $A D$ прямокутника $A BC D$ вибрано точку $K$ так, що трикутник $B K C$ є прямокутним (див. рисунок). Визначте периметр прямокутника $A BC D$ , якщо $∠ A B K = 3 0^{\circ}$ , $K C = 63$ .
1. а.
  $243 + 18$
2. б.
  $243 + 12$
3. в.
  $24 + 63$
4. г.
  $36$
5. д.
  $363$
Завдання 16
До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
1.
Пряма $y = - 2 x$
2.
Пряма $y = 2 x + 2$
3.
Пряма $y = - 2 x + 4$
Закінчення речення
а.
утворює гострий кут із додатним напрямком осі $x$ .
б.
симетрична прямій $y = 2 x + 4$ відносно осі $y$ .
в.
є паралельною прямій $y = x$ .
г.
проходить через початок координат.
д.
не перетинає жодну з осей координат.
1.
2.
3.
Завдання 17
Узгодьте вираз (1–3) та проміжок (А – Д), якому належить його значення, де $φ = \frac{5 + 1}{2}$ – відома математична величина, яку називають золотим числом.
Вираз
1.
$φ^{0}$
2.
$(5 - 1) \cdot φ$
3.
$lo g_{\frac{1}{5}} (2 φ - 1)$
Проміжок
а.
$(- \infty; - 1]$
б.
$(- 1; 0]$
в.
$(0; 1]$
г.
$(1; 2]$
д.
$(2; + \infty)$
1.
2.
3.
Завдання 18
На рисунку зображено квадрат $A BC D$ . На стороні $BC$ вибрано точку $K$ так, що $K C = 4$ см. Точка $M$ – середина відрізка $A K$ . Пряма, що проходить через точку $M$ паралельно стороні $BC$ , перетинає сторони $A B$ та $C D$ в точках $N$ і $P$ відповідно, $NM = 6$ см. Узгодьте відрізок (1–3) та його довжину (А – Д).
Відрізок
1.
$A B$
2.
$MP$
3.
$A K$
Довжина відрізка (см)
а.
10
б.
12
в.
16
г.
20
д.
24
1.
2.
3.
Завдання 19
Функція $f (x)$ є парною, а функція $g (x)$ – непарною. Обчисліть значення виразу $\frac{4 g ( - x _{0} ) + 2 f ( x _{0} )}{5 f ( - x _{0} )}$ , якщо $f (x_{0}) = 1$ , $g (x_{0}) = - 3$ .
Завдання 20
На рисунку зображено схему салону пасажирського літака. У салоні $n$ рядів, у кожному з яких розташовано 6 крісел (по 3 крісла обабіч проходу). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце в перших трьох рядах, дорівнює — $\frac{1}{14}$ . Визначте $n$ .
Завдання 21
Твірна конуса й бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнюють по 25 см. Апофема піраміди дорівнює радіусу основи конуса. Обчисліть площу ( $с м^{2}$ ) бічної поверхні піраміди, якщо площа бічної поверхні конуса дорівнює $500 π$ $с м^{2}$ .
Завдання 22
Визначте значення $a$ , за якого система рівнянь ${y + (x - 1)^{2} = 5 a, x^{2} - 2 x + y^{2} + 8 y = 47.$ має єдиний розв’язок.

НМТ 2025 Варіант 2

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Завдання 8

Завдання 9

Завдання 10

Завдання 11

Завдання 12

Завдання 13

Завдання 14

Завдання 15

Завдання 16

Завдання 17

Завдання 18

Завдання 19

Завдання 20

Завдання 21

Завдання 22