НМТ 2024 Десята сесія

Завдання 1
У салоні пасажирського літака 20 рядів, у кожному з яких розташовано по 3 крісла обабіч проходу (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Яка імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу?
1. а.
  $\frac{1}{2}$
2. б.
  $\frac{1}{6}$
3. в.
  $\frac{1}{3}$
4. г.
  $\frac{2}{3}$
5. д.
  $\frac{1}{120}$
Завдання 2
$(4 x - 5)^{2} =$
1. а.
  $16 x^{2} - 40 x + 25$
2. б.
  $16 x^{2} - 25$
3. в.
  $16 x^{2} - 20 x + 25$
4. г.
  $16 x^{2} + 25$
5. д.
  $4 x^{2} - 40 x + 25$
Завдання 3
Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності $∣ - 2 x - 3 ∣ > 5$ ?
1. а.
  -2
2. б.
  -1
3. в.
  0
4. г.
  1
5. д.
  2
Завдання 4
Відомо, що вісь $A O$ Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі $BO$ на кут $4^{\circ}$ (див. рисунок). Визначте градусну міру кута $A OC$ , який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею $OC$ .
1. а.
  $17 6^{\circ}$
2. б.
  $9 4^{\circ}$
3. в.
  $10 4^{\circ}$
4. г.
  $8 6^{\circ}$
5. д.
  $9 6^{\circ}$
Завдання 5
На рисунку зображено куб $A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані $A A_{1} B_{1} B$ .
1. а.
  $BC$
2. б.
  $C_{1} D$
3. в.
  $B D$
4. г.
  $C B_{1}$
5. д.
  $A_{1} B$
Завдання 6
Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію.
1. а.
  $y = lo g_{4} x$
2. б.
  $y = x$
3. в.
  $y = x + 2$
4. г.
  $y = - x^{2}$
5. д.
  $y = \frac{1}{x}$
Завдання 7
Маса протона наближено дорівнює $1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$ кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів.
1. а.
  $167 \cdot 1 0^{- 25}$
2. б.
  $1, 67 \cdot 1 0^{- 25}$
3. в.
  $1, 67 \cdot 1 0^{- 29}$
4. г.
  $1, 67 \cdot 1 0^{- 2700}$
5. д.
  $1, 67 \cdot 1 0^{25}$
Завдання 8
Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об’єм ( $с м^{3}$ ) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
1. а.
  1800
2. б.
  1200
3. в.
  2400
4. г.
  800
5. д.
  600
Завдання 9
Обчисліть значення виразу $2 m + m + m$ , якщо $m = \frac{1}{27}$ .
1. а.
  $\frac{2}{3}$
2. б.
  6
3. в.
  $\frac{1}{6}$
4. г.
  $\frac{3}{2}$
5. д.
  $\frac{2}{9}$
Завдання 10
Які з наведених тверджень є правильними?
І. Cерединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники.
ІІ. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.
ІІІ. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будьякого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.
1. а.
  лише І
2. б.
  лише І та ІІ
3. в.
  лише І та ІІІ
4. г.
  лише IІ та ІІІ
5. д.
  І, ІІ та ІІІ
Завдання 11
Розв’яжіть систему рівнянь ${2 x - \frac{y}{3} = 7, 4 x + \frac{2 y}{3} = 6.$ Якщо $(x_{0}; y_{0})$ − розв’язок системи, то $x_{0} + y_{0} =$
1. а.
  -3,5
2. б.
  4,5
3. в.
  6
4. г.
  -4
5. д.
  10,5
Завдання 12
Сума перших п’яти членів геометричної прогресії $(b_{n})$ дорівнює 32, а сума перших чотирьох її членів дорівнює 20. Визначте $b_{5}$ .
1. а.
  1,6
2. б.
  52
3. в.
  11,4
4. г.
  -12
5. д.
  12
Завдання 13
$2 lo g_{6} 3 + lo g_{6} 4 =$
1. а.
  $lo g_{6} 10$
2. б.
  $lo g_{6} 24$
3. в.
  $lo g_{6} 13$
4. г.
  2
5. д.
  6
Завдання 14
Розв’яжіть рівняння $3^{x^{2}} = 81$ . Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.
1. а.
  $(- \infty; - 10)$
2. б.
  $[- 10; - 3)$
3. в.
  $[- 3; - 2)$
4. г.
  $[- 2; 0)$
5. д.
  $[0; + \infty)$
Завдання 15
На стороні $A D$ паралелограма $A BC D$ вибрано точку $K$ так, що $A K : KD = 3 : 2$ , $B K = C D$ (див. рисунок). Визначте площу паралелограма $A BC D$ , якщо $∠ A K B = α$ , $BC = 20$ .
1. а.
  $\frac{120}{tg α}$
2. б.
  $120 tg α$
3. в.
  $160 sin α$
4. г.
  $60 cos α$
5. д.
  $\frac{60}{tg α}$
Завдання 16
На рисунку зображено графік функції $y = f (x)$ , визначеної на відрізку $[1; 9]$ . Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
1.
Найбільше значення функції $y = f (x)$ на відрізку $[1; 9]$ дорівнює
2.
Найменше значення функції $y = f (x)$ на відрізку $[1; 3]$ дорівнює
3.
Найбільше ціле значення $x$ , за якого справджується нерівність $f (x) < 0$ , дорівнює
Закінчення речення
а.
-1.
б.
9.
в.
6.
г.
7.
д.
5.
1.
2.
3.
Завдання 17
Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу.
Вираз
1.
$\frac{π}{3}$
2.
$sin (\frac{7 π}{2})$
3.
$π^{c o s 9 0^{\circ}}$
Твердження щодо значення виразу
а.
є ірраціональним числом
б.
є натуральним числом
в.
є цілим від’ємним числом
г.
є раціональним числом, що не є цілим
д.
дорівнює 0
1.
2.
3.
Завдання 18
Трапеція $A K C D$ складається з квадрата $A BC D$ та трикутника $B K C$ (див. рисунок). Периметр квадрата $A BC D$ дорівнює 24 см, середня лінія трапеції $A K C D$ дорівнює 10 см. До кожного початку речення (1–3) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення
1.
Довжина відрізка BK дорівнює
2.
Довжина відрізка KC дорівнює
3.
Відстань між центрами кіл, описаних навколо квадрата ABCD та трикутника BKC, дорівнює
Закінчення речення
а.
8 см.
б.
7 см.
в.
6 см.
г.
10 см.
д.
12 см.
1.
2.
3.
Завдання 19
На рисунку зображено графік функції $f (x) = {1, x \in (- \infty; 0], 2, x \in (0; + \infty) .$ Обчисліть значення виразу $\int_{- 4}^{- 1} f (x) d x + 2 \int_{1}^{8} f (x) d x$ .
Завдання 20
Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на цей день, якщо урок фізичної культури має бути першим або останнім у розкладі?
Завдання 21
У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною $M (4; - 9; 7)$ . Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник $A MB$ . Визначте площу $S$ повної поверхні цього конуса, якщо $A (8; - 12; 12)$ . У відповіді запишіть значення $\frac{S}{π}$ .
Завдання 22
Визначте суму всіх цілих значень $a$ , за кожного з яких рівняння $l g (2 a x + 5 - a) = l g (4 x)$ не має коренів.

НМТ 2024 Десята сесія

Завдання 1

Завдання 2

Завдання 3

Завдання 4

Завдання 5

Завдання 6

Завдання 7

Завдання 8

Завдання 9

Завдання 10

Завдання 11

Завдання 12

Завдання 13

Завдання 14

Завдання 15

Завдання 16

Завдання 17

Завдання 18

Завдання 19

Завдання 20

Завдання 21

Завдання 22